Dixmier 迹公式与弯曲非交换环面上的薛定谔算符负特征值
摘要
在先前的一篇论文中，我们在非交换环面上建立了 Cwikel 型估计，并用它们得到了分数阶薛定谔算符负特征值的 Cwikel-Lieb-Rozenblum (CLR) 和 Lieb-Thirring 不等式在此背景下的类比。在本文中，我们关注“弯曲”非交换环面，其中通常拉普拉斯算符的作用由与任意黎曼度量相关联的 Laplace-Beltrami 算符扮演。我们将先前论文中的 Cwikel 型估计推广到伪微分算符和 Laplace-Beltrami 算符的幂。这些估计有几个应用。首先，我们得到了非交换环面上伪微分算符迹的通常公式的 L_p 版本，即伪微分算符与 L_p 位置算符组合的迹公式。接着，我们得到了非交换环面上 Connes 迹定理和 Connes 积分公式类比的 L_p 版本。它们给出了 L_p 位置算符与伪微分算符或 Laplace-Beltrami 算符幂的乘积的非交换积分（亦称 Dixmier 迹）的公式。此外，通过将我们的 Cwikel 型估计与合适版本的 Birman-Schwinger 原理相结合，我们得到了与 Laplace-Beltrami 算符幂和 L_p 势相关联的分数阶薛定谔算符负特征值的 CLR 和 Lieb-Thirring 不等式的版本。如同原始的欧几里得情形，Lieb-Thirring 不等式蕴含了正交规范族的对偶 Sobolev 不等式。最后，我们讨论了弯曲非交换环面上我们这类算符的谱渐近和半经典 Weyl 定律。这取代了我们先前论文中的一个猜想。
引用
@article{arxiv.2103.16869,
title = {Dixmier Trace Formulas and Negative Eigenvalues of Schroedinger Operators on Curved Noncommutative Tori},
author = {Edward McDonald and Raphael Ponge},
journal= {arXiv preprint arXiv:2103.16869},
year = {2022}
}
备注
v2: extra material on Lieb-Thirring and Sobolev inequalities and semiclassical Weyl's law, 38 pages