自由群自同构的位移 I：位移函数、极小点与训练轨道

这是两篇论文中的第一篇，我们在其中研究自由群（更一般地，自由积）的自同构在 Culler-Vogtmann 外空间及其单纯边界化——自由分裂复形——上关于 Lipschitz 度量的位移函数的性质。不可约自同构的理论已得到充分发展，因此我们集中于可约情形。由于我们处理边界化，我们在更一般的形变空间及其相伴的自由分裂复形中发展所有所需工具。在本文中我们研究位移函数的局部性质。特别地，我们通过几何刻画其连续点来研究其凸性性质以及在边界化点处的行为。我们证明 $Aut(F_n)$ 的全局单形位移谱是 $\mathbb R$ 中的一个良序子集，这有助于算法目的。我们引入训练轨道的一个较弱概念，称之为{\em 部分训练轨道}（对不可约自同构它与通常概念一致），并证明对任意自同构，极小位移点——极小点——与支持部分训练轨道的标记度量图重合。我们证明任意自同构，无论是否可约，在外空间或其边界化中均具有部分训练轨道（从而有极小点）。我们证明给定自同构的任意不变自由因子都出现于部分训练轨道映射中。在后续论文中我们将证明位移函数的水平集是连通的，并将该结果应用于解决某些判定问题。