自由积的拉伸因子、度量与训练轨道

本文发展了群自由积的外空间的度量理论。这推广了自由群外空间的理论，并包含了其相对版本。自由积的外空间由具有可能非平凡顶点稳定子的 $G$-树组成。其策略与经典情形相同，但无限价顶点的存在带来了一些技术细节。具体而言，我们描述了 Lipschitz 度量并展示了如何计算它；证明了最优映射的存在性；描述了由折叠路径表示的测地线。我们证明了代表不可约（从而双曲）自同构的训练轨道存在，并且它们在度量上被刻画为最小位移点，特别表明了训练轨道集是闭集。我们包含了一个不使用 Perron-Frobenius 理论的单纯训练轨道映射存在性的证明。这一广义观点的一个直接推论是，给出了自由群和自由积情形下相对训练轨道映射存在的简易证明。