离散拉普拉斯-贝尔特拉米算子决定离散黎曼度量
离散数学
2010-10-21 v1 谱理论
摘要
光滑黎曼流形的拉普拉斯-贝尔特拉米算子由黎曼度量决定。反之，由其本征值和本征函数构造的热核决定了黎曼度量。本文证明了在欧几里得多面体曲面（三角网格）上的类比，即离散拉普拉斯-贝尔特拉米算子和离散黎曼度量（在相差一个缩放因子的意义下唯一）是相互决定的。给定一个欧几里得多面体曲面，其黎曼度量表示为边长，满足所有面上的三角不等式。拉普拉斯-贝尔特拉米算子使用余切公式表述，其中边权重定义为该边所对角的余切之和。我们证明，通过变分法，边长可以由边权重在相差一个缩放因子的意义下唯一确定。首先，我们证明多面体曲面的所有可能度量的空间是凸的。然后，我们在度量空间上构造一个特殊的能量，使得该能量的梯度等于边权重。第三，我们证明该能量的海森矩阵在度量空间的切空间上是正定的，因此该能量是凸的。最后，利用凸域上的参数与定义在该域上的凸函数的梯度具有一一对应关系这一事实，我们证明边权重在相差一个缩放因子的意义下唯一确定多面体度量。这一构造性证明引出了一个计算算法，该算法从离散拉普拉斯-贝尔特拉米算子矩阵出发，在拓扑三角网格上找到唯一的度量。
引用
@article{arxiv.1010.4070,
title = {Discrete Laplace-Beltrami Operator Determines Discrete Riemannian Metric},
author = {Xianfeng David Gu and Ren Guo and Feng Luo and Wei Zeng},
journal= {arXiv preprint arXiv:1010.4070},
year = {2010}
}