殆Riemann几何中的Laplace-Beltrami算子

二维殆Riemann结构是曲面上的广义Riemann结构，其局部标准正交标架由一对Lie括号生成的向量场给出，这两个向量场可以变为共线的。一般而言，奇异集是一个嵌入的一维流形，且存在三种类型的点：Riemann点（两个向量场线性无关），Grushin点（两个向量场共线但其Lie括号不共线），以及切点（两个向量场及其Lie括号均共线，缺失的方向需通过再一次括号获得）。一般而言，切点是孤立的。本文研究此类结构上的Laplace-Beltrami算子。对于无切点的紧致可定向曲面，我们证明Laplace-Beltrami算子本质上是自伴的且具有离散谱。因此，该结构中的量子粒子不能穿越奇异集，热量也不能流过奇点。这是一个有趣的现象，因为当趋近奇异集（即向量场变为共线处）时，所有Riemann量均发散，但测地线仍然良定义且可以无奇性地穿越奇异集。此现象也出现在非等正则的次Riemann结构中，即其增长向量依赖于点的情形。我们通过分析Martinet情形来展示这一事实。