离散 $d$ 维光滑模

我们证明了在 $d$ 维立方体 $I^d\equiv [0,1]^d$ 上，仅利用函数在二进网格上的值的离散光滑模足以确定该函数的光滑模。作为一个重要的特例，我们的结果意味着对于 $f\in C(I^d)$ 和给定整数 $r$，当 $0<\alpha<r$ 时，条件 $$\left|\Delta^r_{2^{-n} e_i}f\left(\frac{k_1}{2^n},\dots,\frac{k_d}{2^n}\right)\right|\le M2^{-n\alpha}$$ 对于整数 $1\le i\le d$，$0\le k_i\le 2^n-r$，当 $j\ne i$ 时 $0\le k_j\le 2^n$，以及 $n=1,2,\dots$，等价于 $$\Bigl|\Delta^r_{h u}f(x)\Bigr|\le M_1 h^\alpha$$ 其中 $x,u\in\mathbb{R}^d$，$h>0$ 且 $|u|=1$，使得 $x,x+rhu\in I^d$。