$j$-函数沿无限测地线的周期与 Mock 模形式

Zagier 关于奇异模迹数的著名工作将某些权为 $1/2$ 的弱全纯模形式的系数与虚二次点处模 $j$-函数值的迹数联系起来。Duke、Imamo\=glu 和 T\'oth 最近研究了实二次类比。他们表明，某些权为 $1/2$ 的 mock 模形式 $$f_D = \sum_{d>0} a(d,D) q^d, \qquad D>0$$ 的系数由 $j$-函数的圈积分迹数给出。他们的结果适用于 $dD$ 非平方数的那些系数 $a(d,D)$。最近，Bruinier、Funke 和 Imamo\=glu 利用正则化 theta 提升证明了对于 $dD$ 为平方数的情况，系数 $a(d,D)$ 是 $j$-函数正则化积分的迹数。在本文中，我们提供了该问题的另一种方法。我们引入了与 $j$-函数相关的函数 $j_{m,Q}$（其中 $Q$ 为二次型），并通过修改 Duke、Imamo\=glu 和 T\'oth 的方法，证明了当 $dD$ 为平方数时，其系数是函数 $j_{m,Q}$ 的圈积分迹数。