次数为 $2r$ 的光滑平面 $r$-样条

在 \cite{as} 中，Alfeld 和 Schumaker 给出了在平面单纯复形 $\Delta$ 的一般三角剖分上（当 $d \ge 3r+1$ 时）以及任意三角剖分上（当 $d\geq 3r+2$ 时）次数为 $d$、光滑度为 $r$ 的分片多项式函数（样条）空间维数的公式。在 \cite{ss} 中，有人猜想 Alfeld-Schumaker 公式实际上对所有 $d \ge 2r+1$ 都成立。在本注记中，我们表明这是可能的最佳结果；特别地，存在一个单纯复形 $\Delta$ 使得对任意 $r$，次数为 $d=2r$ 的样条空间的维数不被 \cite{as} 中的公式给出。该证明依赖于 \cite{ss2} 中描述的首个局部上同调模非零性的显式计算。