样条复形的相伴素理想

Schenck 和 Stillman 在 [Schenck-Stillman 97] 中引入了样条复形 $\mathcal{R}/\mathcal{J}[\Sigma]$，其顶部同调是扇 $\Sigma\subset\mathbb{R}^{n+1}$ 上混合样条的代数 $C^\alpha(\Sigma)$，这是 Billera [Billera 88] 提出的复形 $\mathcal{R}/\mathcal{I}[\Sigma]$ 的一个变体。在本文中，我们分析了该复形同调模的相伴素理想。特别地，我们证明了所有此类素理想均为线性的。我们给出了两个关于维数计算的应用。第一个是计算 $C^\alpha(\Sigma)$ 的 Hilbert 多项式的第三系数，包括在 $\Sigma$ 边界的任意余维一面上施加消失条件的情形，推广了 [Geramita-Schenck 98,McDonald-Schenck 09] 中的计算。第二个是描述单纯扇 $\Sigma$ 的 $HP(C^\alpha(\Sigma))$ 的 Hilbert 多项式的第四系数。我们利用这一描述推导了 Alfeld、Schumaker 和 Whiteley 关于 $d\gg 0$ 时 $C^1$ 四面体样条泛型维数的结果 [Alfeld-Schumaker-Whiteley 93]，并通过一个示例说明了该描述如何用于给出特定非泛型构型中的第四系数。