样条复形第一同调的上界

设$\Delta$为嵌入在$\mathbb{R}^2$中的连通纯$2$维单纯复形，令$C^{r}(\hat{\Delta})$为$\Delta$的光滑度$r$齐次化样条模。为研究$C^{r}(\hat{\Delta})$，Schenck和Stillman发展了样条复形$S_\bullet/J_\bullet$。Schenck和Stiller猜想$H_1(S_\bullet/J_\bullet)$的正则性小于$2r+1$。在本文中，我们首先考虑$\Delta$只有一个完全内部边的情况，因为这是最简单的非平凡情形。然后我们可以应用此处得到的公式，给出一些更一般情形的上界。