用于分析三角样条空间维数的同调技术

依附于 $\R^{d}$ 细分区域 $\Delta$ 的样条空间 $C_k^r(\Delta)$ 是一个向量空间，其由在该细分的每个片段上为次数 $\le k$ 的多项式且整体属于 $C^{r}$ 类的函数组成。平面矩形网格上的经典样条在计算机辅助几何设计中起着重要作用，而平面区域任意细分上的样条空间现在正被考虑用于等几何分析应用。我们致力于确定平面上三角区域 $\Delta$ 的双变量样条空间 $C_k^r(\Delta)$ 的维数问题。利用 Billera (1988) 引入的同调方法，我们对顶点进行编号并建立了一个关于维数上界的公式。该方法对排序没有限制，并且相比以前的方法能获得更精确的维数近似值，此外，在某些情况下甚至能找到精确值。该构造使得当 $k\ge 4r+1$ 时可以获得维数公式的简短证明，且我们在该证明中使用的相同方法可直接得出许多其他情况下的维数。