样条的代数：对偶性、群作用与同调

本综述概述了与样条研究相关的三个核心代数主题：对偶性、群作用和同调。样条是在 $\mathbb{R}^k$ 中某一细分区域 $D$ 上具有指定光滑度的分段多项式函数，其应用涵盖从逼近论、几何建模到数值分析等领域。或者，样条也可以被解释为标记（组合）图顶点的多项式集合，其中相邻顶点标记之间相差一个与边相关联的仿射线性形式的幂。在大多数关注的情况下，细分区域本质上与组合图对偶，且样条的这两种刻画是一致的。样条的性质取决于 $\mathbb{R}^k$ 中区域 $D$ 的单纯或凸多面体细分的组合学、拓扑学、几何学和对称性，且通常非常微妙。我们描述了对偶性、群作用和同调——这些在纯数学和应用数学的许多领域中都扮演核心角色的技术——如何被用来阐明关于样条的不同问题。我们的目标读者是非专家：我们提供了这些方法的具体介绍，并在样条的背景下用许多例子加以说明。我们还提供了关于计算方面的教程：本笔记中出现的所有对象都可以使用开源计算机代数软件进行研究。