主丛上的离散联络：离散 Atiyah 序列

本文研究了 M. Atiyah 于 1957 年引入的、与任意光滑主 $G$-丛 $\pi:Q\rightarrow Q/G$ 相伴的向量丛正合列的离散类比。在原始设定中，该正合列的分裂对应于主丛 $\pi$ 上的联络。我们在此考虑的离散类比可在两个不同的范畴中研究：带（选定）截面的纤维丛范畴 FBS，以及局部李群胚范畴 lLgpdC。在 FBS 中，我们发现 a) $\pi$ 的离散 Atiyah 序列（DAS）的（半局部）分裂、b) 同一丛 $\pi$ 上的离散联络，以及 c) DAS 与 FBS 中某些纤维积扩张的同构之间存在对应。我们看到 DAS 在 FBS 中的右分裂未必是 lLgpdC 中的右分裂：我们利用这一阻碍来定义离散联络的离散曲率。进而，DAS 在 lLgpdC 中的分裂与具有平凡离散曲率的离散联络之间存在对应。我们还引入了（某些）局部李群胚之间的半直积，并证明半直积扩张与 lLgpdC 中 DAS 的分裂之间存在对应。