关于 Lie 群胚上主 2-丛中的规范理论与平行移动

我们研究了传统规范理论中的一些思想与纤维范畴中某些概念之间的相互作用。我们通过引入 Lie 群胚上主 Lie 2-群丛的概念并研究其联络结构、规范变换和平行移动来实现这一点。我们得到了纤维范畴与伪函子之间一一对应的 Lie 2-群挠子版本。这使得我们能够根据其底层纤维化结构对我们的主 2-丛进行分类。这允许我们将一类主 2-丛扩展到在由底 Lie 群胚表示的可微叠上定义。我们构造了 VB-群胚的短正合序列，即与我们主 2-丛相关的 Atiyah 序列。Atiyah 序列的分裂以及其到自然同构的分裂，分别给出了主 2-丛上的'严格联络'和'半严格联络'的概念。我们用总 Lie 群胚上取值为 Lie 2-代数的 1-形式来描述此类联络。我们的 2-丛的底层纤维化结构为严格联络和半严格联络的存在性提供了判别准则。我们研究了规范变换的 2-群在严格联络和半严格联络的群胚上的作用，有趣的是，我们观察到了半严格联络的扩展对称性。我们通过发展沿主 2-丛底 Lie 群胚中一类特定 Haefliger 路径的联络诱导平行移动理论，展示了'传统主丛中微分几何联络诱导的水平路径提升性质'与'纤维范畴中态射的范畴论笛卡尔提升'之间的相互关系。最后，我们利用我们的结果在 VB-群胚的框架下引入了沿 Haefliger 路径的平行移动的概念。