混合流上的方向性 Poincaré 不等式

我们给出了环面 $\mathbb{T}^d$ 上 Poincaré 不等式的一个改进：存在一个 Lebesgue 零集 $\mathcal{B} \subset \mathbb{T}^d$ 的方向，使得对于每个 $\alpha \in \mathcal{B}$，存在 $c_{\alpha} > 0$ 满足 $$\|\nabla f\|_{L^2(\mathbb{T}^d)}^{d-1} \| \left\langle \nabla f, \alpha \right\rangle\|_{L^2(\mathbb{T}^d)} \geq c_{\alpha}\|f\|_{L^2(\mathbb{T}^d)}^{d} \qquad\mbox{for all}~f\in H^1(\mathbb{T}^d)~\mbox{with mean 0.}$$ 导数 $\left\langle \nabla f, \alpha \right\rangle$ 无法探测任何正交于 $\alpha$ 的方向上的振荡，然而，对于某些 $\alpha$，沿 $\alpha$ 方向的测地流具有充分的遍历性以补偿该缺陷。在二维环面 $\mathbb{T}^2$ 上，该不等式对 $\alpha = (1, \sqrt{2})$ 成立，但对 $\alpha = (1,e)$ 不成立。类似的结果应当在非常一般的域上以高度的普遍性成立。