关于方向性惠特尼不等式

本文研究紧域 $\Omega\subset {\mathbb{R}}^d$ 上形如 $$\inf_{Q\in \Pi_{r-1}^d({\mathcal{E}})} \|f-Q\|_p \leq C(p,r,\Omega) \omega_{{\mathcal{E}}}^r(f,{\rm diam}(\Omega))_p,\ \ r\in {\mathbb{N}},\ \ 0<p\leq \infty,$$ 的一类新型惠特尼型不等式，其中 $\omega_{{\mathcal{E}}}^r(f, t)_p$ 表示 $f\in L^p(\Omega)$ 沿有限方向集 ${\mathcal{E}}\subset {\mathbb{S}^{d-1}}$ 的 $r$ 阶方向性光滑模，且满足 ${\rm span}({\mathcal{E}})={\mathbb{R}}^d$，$\Pi_{r-1}^d({\mathcal{E}}):=\{g\in C(\Omega):\ \omega^r_{\mathcal{E}} (g, {\rm diam} (\Omega))_p=0\}$。我们证明不存在普适有限方向集 ${\mathcal{E}}$ 使该不等式在任意凸体 $\Omega\subset {\mathbb{R}}^d$ 上成立，但对每个连通的 $C^2$ 域 $\Omega\subset {\mathbb{R}}^d$，可取 ${\mathcal{E}}$ 为任意 $d$ 个独立方向的集合。我们还研究了最小整数 ${\mathcal{N}}_d(\Omega)\in{\mathbb{N}}$，使得存在 ${\mathcal{N}}_d(\Omega)$ 个方向之集 ${\mathcal{E}}$ 满足 ${\rm span}({\mathcal{E}})={\mathbb{R}}^d$ 且该方向性惠特尼不等式在 $\Omega$ 上对一切 $r\in{\mathbb{N}}$ 与 $p>0$ 成立。证得对每个连通 $C^2$ 域 $\Omega\subset {\mathbb{R}}^d$、$d=2$ 时每个平面凸体 $\Omega\subset {\mathbb{R}}^2$、以及 $d\ge 3$ 时每个近光滑凸体 $\Omega\subset {\mathbb{R}}^d$，均有 ${\mathcal{N}}_d(\Omega)=d$。[完整摘要见预印本——因 arXiv 限制未在此收录。]