接触三维流形上的 Dirac 谱流 I：本征截面估计与谱不对称性

设 $Y$ 为具有接触形式 $a$ 和度量 $ds^2$ 的紧致定向 3-流形。假设 $F\to Y$ 是一个结构群为 $U(2) = SU(2)\times_{\pm1}S^1$ 的主丛，使得 $F/S^1$ 是 $TY$ 的标准正交标架的主 SO(3) 丛。Hermitian 线丛 $F\times_{\det U(2)}\mathbb{C}$ 上的酉联络 $A_0$ 确定了 $\mathbb{C}^2$-丛 $F\times_{U(2)}\mathbb{C}^2$ 上的一个自伴 Dirac 算子 $D_0$。接触形式 $a$ 可用于通过 $A_0-ira$ 扰动联络 $A_0$。这关联了一个单参数 Dirac 算子族 $D_r$ ($r\geq0$)。当 $r>>1$ 时，我们建立了具有小特征值的 $D_r$ 本征截面的尖锐 sup-范数估计。该 sup-范数估计可用于研究从 $D_0$ 到 $D_r$ 的谱流的渐近行为。特别是，它表明谱流的次主导项严格小于 $r^{\frac{3}{2}}$ 阶。我们还将 $D_r$ 的 $\eta$-不变量与仅涉及 $D_r$ 小特征值的特定谱不对称函数联系起来。