行列式优超与 Guo-Phong-Tong 及 Abja-Olive 的工作

本注记的目的是建立行列式优超公式 $F(A)^{1\over N} \geq \det(A)^{1\over n}$，对所有由对称 $n \times n$ 矩阵上阶数为 $N$ 的不变 Garding-Dirichlet 多项式所确定的算子 $F$ 成立。此处“不变”是指分别在矩阵为实对称、Hermitian 对称或四元数对称时，在群 O$(n)$、U$(n)$ 或 Sp$(n)$ 下不变。这极大扩展了 Guo-Phong-Tong 以及 Guo-Phong 近期关于复流形上微分方程工作的适用性。它也与 Abja-Olive 关于内部正则性的工作相关。给出了对对角算子及依赖于有序特征值的算子的进一步应用。给出了显示结果精确性的例子。对于 Abja-Olive 工作的应用及文中其他评注，我们在附录中建立了 Garding-Dirichlet 算子的一些结果。一个是 Garding 锥的穷竭引理。另一个给出了高阶导数的界，这源于它们作为 Garding 特征值的函数的优雅表达。还讨论了对中心射线假设这一关键假设的思考。