在 $\mathbb{Z}_N^*$ 中确定性寻找大阶元素

在本文中，我们改进了确定性寻找模某整数 $N$ 具有大乘法阶元素的问题。该问题作为当前确定性因式分解算法（如 Harvey 和 Hittmeir [Mathematics of Computation, 2021] 提出的算法）中的关键子程序出现。具体而言，设 $D<N$ 为正整数且 \begin{equation}\label{eq:abs} D > \exp\left(\sqrt{2\log N \log \log N}\right). \end{equation} 我们给出一种确定性算法，其执行以下操作之一：返回一个元素 $a \in \mathbb{Z}_N^*$ 且 $\operatorname{ord}_N(a) > D$；返回 $N$ 的一个非平凡因子；或报告 $N$ 为素数。我们算法的运行时间为 $O(D^{1/2 + o(1)})$。Harvey 和 Hittmeir [arXiv:2601.11131, 2026] 在本手稿准备期间出现的工作中独立且同时获得了类似结果。在这些工作之前，寻找阶大于 $D$ 的元素的已知最佳算法由 Oznovich 和 Volk [SODA 2026] 给出，要求 $D > N^{\frac{1}{6}}$。我们还提出了一种更简单的算法，适用于任意 $D < N$，运行时间为 $O(D^{2.5+o(1)}\operatorname{polylog}(N))$。