Fejér-Dirichlet提升：整函数与$\zeta$-因子分解恒等式

本文发展了一种 Fejér-Dirichlet 提升，将整数处的因子信息转化为具有显式 Dirichlet 级数因子分解的整插值函数。对于绝对可和的权重，该提升在每个整数 $n$ 处插值 $(a*1)(n)$，并在 $\Re s>1$ 上具有 Dirichlet 级数 $\zeta(s)A(s)$。本文强调了两个应用。首先，对于 $q>1$，构造了一个在素数处为零且在复合整数处为正的整函数 $\mathfrak F(\cdot,q)$；证明了其切线匹配变体 $\mathfrak F^{\sharp}$ 具有一个显式且有效的阈值 $P_0(q)$，使得对于每个奇素数 $p\ge P_0(q)$，区间 $(p-1,p)$ 内无实零点，且 $x=p$ 是一个重数为二的边界零点。其次，针对 $a=\mu*\Lambda$ 的重正化提升生成了 $\Lambda(n)$ 的整插值函数，并通过 FD-提升谱提供了对 $\zeta'(s)/\zeta(s)$ 出现的构造性视角。几何权重情形下的 Polylog-Zeta 因子分解将 $\zeta(s)$ 与 $\operatorname{Li}_s(1/q)$ 联系起来。所有关于素数/复合数的论述均针对整数参数。用于复现图形和数值检查的脚本已在公共存储库中提供，并附有存档快照。