推广 Davenport-Mahler-Mignotte 界——带权情形

根分离界作为复杂度度量，在理解计算代数中各类算法（例如根隔离算法）的行为方面起着重要作用。单变量情形下的一个经典结果是 Davenport-Mahler-Mignotte (DMM) 界。该界的一种表述方式是：考虑次数 d 多项式 f(z) ∈ ℂ[z] 的部分根构成的有向无环图 (V,E)，其中边由绝对值较小的根指向绝对值较大的根，且所有顶点的入度至多为 1。此时 DMM 界是如下乘积的摊还下界：∏_{(α,β) ∈ E}|α-β|。然而，该下界涉及多项式 f 的判别式，若多项式非无平方因子则界退化为平凡。Eigenwillig (2008) 通过使用合适的子判别式代替判别式解决了这一问题。Escorcielo-Perrucci (2016) 进一步利用有限差分理论去掉了图的入度约束。Emiris 等人 (2019) 将其结果推广到处理乘积中项 |α-β| 的指数至多为两个根中任一个的重数的情形。本文中，我们通过允许图上边取任意正整数权来推广这些结果，即对于权函数 w: E → ℤ_{>0}，我们导出 ∏_{(α,β) ∈ E}|α-β|^{w(α,β)} 的摊还下界。此类乘积出现在近期一些根聚类算法（例如 Becker 等人，2016）的复杂度估计中，其中权通常为根的重数的某个函数。由于其摊还性质，我们的界可以说优于通过改造已有结果以适应权而得到的界。