Children 图纸与具有多个 $A_j$-奇点的超曲面

我们证明了 $\dP^3(\dC)$ 中 $d$ 次曲面存在大约 ${3j+2\over 6j(j+1)} d^3$ 个 $A_j$ 型奇点, $2\le j\le d-1$。该结果基于 Chmutov 的节点曲面构造。证明中我们使用了与 Children 图纸（Dessins d'Enfants）理论相关的平面树。在大多数情形下，我们的例子改进了 $d$ 次曲面上 $A_j$-奇点最大数目 $\mu_{A_j}(d)$ 的已知下界。我们还给出了向高维的推广，这即使在 $\dP^n, n\ge5$ 中节点超曲面的情形也给出了新的下界。最后，我们详细阐发了 B. Segre 的一个经典想法，由此得到一些有趣的例子，例如具有 36 个尖点的六次曲面。