超曲面行列式复杂度的下界

我们证明了对于次数 $d > 2$ 的超曲面，其行列式复杂度下界为奇异轨迹余维数加一，前提是该余维数至少为 $5$。由此，我们得到 $3 \times 3$ 永久（permanent）的行列式复杂度为 $7$。我们还证明了对于 $n> 3$，在 $\mathbf{P}^n$ 中不存在次数为 $d$ 的非奇异超曲面可表示为 $d \times d$ 线性形式矩阵的行列式；反之对于 $n \le 3$，一般的行列式表达式是非奇异的。最后，我们回答了 Ressayre 的一个问题，证明了包含一条直线的唯一（奇异）三次曲面的行列式复杂度为 $5$。