节点曲面极限及其应用

设 $\mathcal X\to\mathbb D$ 为一个关于盘 $\mathbb D$ 的射影复三维流形的平坦家族，总空间 $\mathcal X$ 为光滑的，一般纤维 $\mathcal X_t$ 也为光滑的，而特殊纤维 $\mathcal X_0$ 拥有双正交奇点，特别是 $\mathcal X_0=A\cup B$，其中 $A$、$B$ 为光滑的三维流形，在光滑曲面 $R=A\cap B$ 上作横交叉。本文首先研究当 $\delta$--节点曲面在一般纤维 $S_t\subset\mathcal X_t$ 中的节点极限情形，即当 $S_t$ 趋向中心纤维时，其 $\delta$ 个节点趋向 $R$ 上互异点。结果表明极限曲面 $S_0$ 在一般情况下为 $S_0=S_A\cup S_B$，其中 $S_A\subset A$、$S_B\subset B$ 为光滑曲面，它们在 $R$ 上沿 $\delta$--节点曲线 $C=S_A\cap R=S_B\cap B$ 相交。随后我们在适当条件下证明，上述形式的曲面 $S_0=S_A\cup S_B$ 确实可变形为一般纤维中的 $\delta$--节点曲面。作为应用，我们证明了在 $\mathbb P^3$ 中每个 $\delta\leq {d-1\choose 2}$ 的度为 $d$ 的节点曲面的 Severi variety 的正则不可约分量存在，以及在 $\mathbb P^4$ 中类型为 $(d,h)$ 的 $\delta$--节点完全交叉曲面的 Severi variety 中，每个 \delta\leq {{d+3}\choose 3}-{{d-h+1\choose 3}-1 的正则不可约分量存在。