热带平面布置图与复及实多重节点曲面的计数

在射影三维空间中,次数为 $d$ 且恰有 $\delta$ 个节点作为其唯一奇点的复射影曲面族,在次数为 $d$ 的曲面线性系统中具有余维数 $\delta$(对充分大的 $d$),且其阶数为 $N_{\delta,complex}(d)=(4(d-1)^3)^\delta/\delta!+O(d^{3\delta-3})$。特别地,该数目是关于 $d$ 的多项式。借助热带几何,我们显式描述了穿过射影三维空间中一组合适的泛型 $n=\binom{d+3}{3}-\delta-1$ 个点构型的 $(4d^3)^\delta/\delta!+O(d^{3\delta-1})$ 个曲面。这些曲面接近于热带极限,我们组合地刻画了这些极限,并引入了多重节点热带曲面的平面布置图概念。平面布置图概念类似于著名的平面图表(一种用于热带曲线计数的组合工具):借助它,我们保留了足以重构曲面的多重节点热带曲面的组合本质。在实的情形下,我们估计了满足点条件的实多重节点曲面可能数目的范围。我们证明,对于实点的一个特殊构型 $w$,次数为 $d$、具有 $\delta$ 个实节点且穿过 $w$ 的实曲面数目 $N_{\delta,real}(d,w)$ 有下界 $(\frac{3}{2}d^3)^\delta/\delta! +O(d^{3\delta-1})$。我们证明了关于 $P^1\times P^2$ 与 $P^1\times P^1\times P^1$ 中多重节点曲面计数的类似结论。