Musielak-Orlicz 空间中光滑函数的稠密性

我们给出紧支撑光滑函数空间 $C^\infty_C(\Omega)$ 在 Musielak-Orlicz 空间 $L^\Phi(\Omega)$ 中稠密的充要条件，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^d$ 的开子集。特别地，我们证明若 $\Phi$ 满足条件 $\Delta_2$，则 $C^\infty_C(\Omega)\cap L^\Phi(\Omega)$ 的闭包等于 $L^\Phi(\Omega)$ 当且仅当 $\Phi$ 的奇异点测度为零。这扩展了先前在 $\Phi$ 局部可积假设下证明的稠密性定理，该假设蕴含 $\Phi$ 的奇异点测度为零。作为推论，我们得到由双相泛函生成的 Musielak-Orlicz 空间的类似结果，并恢复了变指数 Lebesgue 空间的已知结果。