空间型中极小子流形的密度与谱

设 $M^m$ 为适当浸入的环境空间中的极小子流形，该环境空间在某种意义下接近曲率为 $-k\le 0$ 的空间型 $\mathbb{N}^n_k$。本文关注 $M^m$ 的密度函数 $\Theta(r)$ 与 Laplace-Beltrami 算子谱之间的关系。特别地，我们证明了如果 $\Theta(r)$ 沿某个序列具有次指数增长（当 $k<0$ 时）或次多项式增长（当 $k=0$ 时），则 $M^m$ 的谱与空间型 $\mathbb{N}^m_k$ 的谱相同。值得注意的是，该结果适用于双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 上 Plateau 问题的 Anderson（光滑）解，且与其边界正则性无关。我们还给出了第二基本形式的一个简单条件，以确保 $M$ 具有有限密度。特别地，我们证明了 $\mathbb{H}^n$ 中具有有限全曲率的极小子流形具有有限密度。