关于有界浸入的谱

本文研究了非紧致、外在有界子流形 $\varphi \colon M^m \ra N^n$ 的谱的离散性与其极限集 $\lim\varphi$ 的 Hausdorff 维数之间的关系。特别地，我们证明：若 $\varphi \colon \!M^2 \ra D \subseteq \R^3$ 是到开、有界、严格凸子集 $D$（具有 $C^2$ 边界）中的极小浸入，则当 $\haus_\Psi(\lim\varphi \cap D)=0$ 时，$M$ 具有离散谱，其中 $\haus_\Psi$ 是阶为 $\Psi(t) = t^2|\log t|$ 的广义 Hausdorff 测度。我们的定理适用于近期多位作者在 N. Nadirashvili 发现 $\R^3$ 中完备有界极小圆盘后构造的若干例子，也适用于 Plateau 问题的解，从而对 S.T. Yau 在其 Millenium Lectures 中提出的问题给出了相当完整的回答。适当的反例表明了结果的精确性：特别地，我们发展了一个用于判断本质谱存在的简单准则，该准则适用于 Jorge-Xavier 和 Nadirashvili 例子之后发展的技术。