无压 Euler-Poisson 系统的 delta-shock

我们研究无压 Euler-Poisson 系统（冷离子动力学）中的奇点形成问题。与带压的 Euler-Poisson 系统不同，在其光滑解发生 $C^1$ 崩溃时，密度的 $L^\infty$ 范数会趋于无穷大，这通常被称为 delta-shock。我们提供了奇点形成的构造性证明，以获得精确的崩溃轮廓以及解在崩溃点附近在时间和空间上的详细渐近行为。我们的结果表明，在崩溃时间 $t=T_\ast$ 时，密度函数趋于无穷大，但在局部可积，且在崩溃点 $x=x_\ast$ 附近具有 $\rho(x,T_\ast) \sim (x-x_*)^{-2/3}$ 的轮廓。这种轮廓尚非狄拉克测度。另一方面，速度函数在崩溃点处具有 $C^{1/3}$ 的正则性。遵循我们的分析，我们还获得了无压 Euler 方程组的精确崩溃轮廓。