通过分数积分推导退化 Poincaré-Sobolev 不等式

我们给出了 $\mathbb{R}^n$ 中 Riesz 势的一个局部加权估计，在若干方面改进了 Alberico、Cianchi 和 Sbordone [C. R. Math. Acad. Sci. Paris \textbf{347} (2009)] 的主要定理。作为推论，我们推导了具有尖锐常数依赖性的加权 Poincaré-Sobolev 不等式。我们对 P\'erez 和 Rela [Trans. Amer. Math. Soc. 372 (2019)] 提出的关于 $(p^*,p)$ Poincaré-Sobolev 不等式中 $A_1$ 常数尖锐指数的猜想给出了肯定回答。我们的方法足够通用，可以证明高阶导数的 Poincaré-Sobolev 不等式以及具有 BBM 额外增益因子 $(1-\delta)^{1/p}$ 的分数阶 Poincaré-Sobolev 不等式。特别地，我们改进了 Hurri-Syrj"anen、Mart\'inez-Perales、P\'erez 和 V"ah"akangas [Int. Math. Res. Not. 20 (2023)] 的一个主要结果。