累积黎曼和、分布函数与普遍不等式

我们研究形如 $$T_n(g)=\sum_{i=1}^n a_i g(S_i), \qquad S_i=\sum_{j=1}^i a_j,$$ 的离散表达式，其中 $a_i>0$ 且 $\sum_{i=1}^n a_i=1$。如果 $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ 是一个递减可积函数，则有 $$\sum_{i=1}^n a_i g(S_i) \le \int_0^1 g(x)\,dx,$$ 从而可获得经典不等式，例如选择 $g(x)=1-x^k$ 的情况。虽然这个不等式是初等的，但它在黎曼和、Abel求和以及概率积分变换方面具有自然的解释。本文的目的是提供一个统一的视角，强调离散不等式是分布自由连续恒等式的结果。除了具体例子之外，我们建立了一个关于单调函数的通用离散定理，并讨论了与majorization theory 和 Karamata 不等式的联系。