完备 Riemann zeta 分布与 Riemann 假设

设 $\sigma,t\in{\mathbb{R}}$，$s=\sigma+\mathrm{{i}}t$，$\Gamma (s)$ 为 Gamma 函数，$\zeta(s)$ 为 Riemann zeta 函数，且 $\xi(s):=s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ 为完备 Riemann zeta 函数。我们通过给出概率密度函数表明，对于任意 $\sigma\in{\mathbb{R}}$，$\Xi_{\sigma}(t):=\xi (\sigma-\mathrm{{i}}t)/\xi(\sigma)$ 是一个特征函数。接下来我们证明，Riemann 假设成立当且仅当对于每个 $1/2<\sigma<1$，$\Xi_{\sigma}(t)$ 是本文所定义的伪无穷可分特征函数 (pretended-infinitely divisible characteristic function)。此外，我们表明当 $\sigma=1$ 时 $\Xi_{\sigma}(t)$ 是伪无穷可分特征函数。最后我们证明对于任意 $\sigma>1$，特征函数 $\Xi_{\sigma}(t)$ 不是无穷可分的而是拟无穷可分的。