关于与黎曼 $\zeta(s)$ 函数相关的 $\xi(s)$ 和 $\Xi(t)$ 函数的一些结果

我们报告了 $\xi(s)$ 函数及其在临界线上的值 $\Xi(t)=\xi\left(\tfrac{1}{2}+it\right)$ 的一些性质。首先，我们给出全纯函数的对数导数成立的一些恒等式。然后我们重新检查 Hadamard 的 $\xi(s)$ 函数乘积形式表示，并给出 $\xi(s)$ 模的水平单调性的简单证明。然后我们展示 $\Xi(t)$ 函数可以解释为弱平稳随机过程的自相关函数，其功率谱函数 $S(\omega)$ 和 $\Xi(t)$ 构成傅里叶变换对。然后我们展示 $\xi(s)$ 可以正式写为 $S(\omega)$ 到复域 $\tau=t-i\lambda$ 的傅里叶变换，其中 $s=\sigma+it=\tfrac{1}{2}+\lambda+it$。然后我们展示 P\'{o}lya 研究的函数 $S_1(\omega)$ 以 $g(s)$ 为其傅里叶变换，其中 $\xi(s)=g(s)\zeta(s)$。最后我们讨论函数 $g(s)$ 的性质，包括它与 Riemann-Siegel 的 $\vartheta(t)$ 函数、Hardy 的 Z 函数、Gram 定律和 Riemann-Siegel 渐近公式的关系。