由狄利克雷级数生成的 zeta 分布及其（拟）无穷可分性

设 $a(1) >0$，对 $n \ge 2$ 有 $a(n) \ge 0$ 且对任意 $\varepsilon >0$ 有 $a(n) = O(n^\varepsilon)$，并令 $Z(\sigma + it):= \sum_{n=1}^\infty a(n) n^{-\sigma - it}$，其中 $\sigma , t \in {\mathbb{R}}$。本文中，我们证明任意特征函数由 ${\mathcal{Z}}_\sigma (t) :=Z(\sigma + it)/Z(\sigma)$ 定义的 zeta 分布，若 $\sigma >1$ 充分大则是拟无穷可分的。此外，我们证明若对某个 $\sigma_{id} >1$，${\mathcal{Z}}_\sigma (t)$ 是无穷可分特征函数，则对所有 $\sigma >1$，${\mathcal{Z}}_\sigma (t)$ 均无穷可分。注意相应的 Lévy 或拟 Lévy 测度可显式给出。证明的关键在于对 Apostol 著名教材中定理 11.14 的修正版本。