余单纯幺半群与张量范畴的形变理论

我们在对称幺半群范畴 ${\bf V}$ 中引入余单纯幺半群的 $n$-交换性（$0\le n\le \infty$）概念，其中 $n=0$ 对应 ${\bf V}$ 中普通的余单纯幺半群，而 $n=\infty$ 对应交换余单纯幺半群。若 ${\bf V}$ 具有幺半群模型结构，我们证明（在某些温和技术条件下）$n$-余单纯幺半群的总对象具有自然的 $E_{n+1}$-代数结构。我们的主要应用在于张量范畴与张量函子的形变理论。我们证明张量函子的形变复形是 $1$-交换余单纯幺半群的总复形，因此具有 $E_2$-代数结构，类似于 Deligne 猜想给出的结合代数的 Hochschild 复形上的 $E_2$ 结构。我们进一步证明张量范畴的形变复形是 $2$-交换余单纯幺半群的总复形，从而自然地是 $E_3$-代数。我们通过 Delannoy 路径及其非交换提升的语言使这些结构非常明确。我们研究这些结构在具体例子中如何显现。