微分分次 Verlinde 公式与 Deligne 猜想

一个模范畴 $\mathcal{C}$ 产生一个微分分次模函子，即链复形上投影映射类群表示的系统。该微分分次模函子赋予环面以 Hochschild 复形，并在对偶描述中赋予 $\mathcal{C}$ 的 Hochschild 上链复形。在这两个复形上，$\mathcal{C}$ 的幺半积诱导出 $E_2$-代数结构，我们称之为微分分次 Verlinde 代数。同时，修正迹（modified trace）在 $\mathcal{C}$ 中投射对象构成的张量理想上诱导出 Calabi-Yau 结构，使得循环 Deligne 猜想赋予 $\mathcal{C}$ 的 Hochschild 上链与链复形以第二个 $E_2$-结构。我们的主要结果是：环面映射类群中特定元素 $S$ 的作用将微分分次 Verlinde 代数变换为该由 Deligne 猜想提供的第二个 $E_2$-结构。此结果对 $\mathcal{C}$ 的 Hochschild 链复形与 Hochschild 上链复形均成立。一般而言，这两个版本的结果不等价。在 Hochschild 链的情形，我们通过映射类群元素 $S$ 的作用获得 Verlinde 代数的块对角化。在半单情形下，两结果均归约为 Verlinde 公式。在非半单情形下，限制到零次（上）同调后，我们恢复了早先提出的不半单 Verlinde 公式推广。