范畴 $\Theta_2$、导出修饰与幺半范畴的形变理论

我们构造了一个复形 $C^\bullet(C,D)(F,G)(\eta, \theta)$，它推广了幺半范畴的 Davydov-Yetter 复形。此处 $C,D$ 是 $\Bbbk$-线性（dg）幺半范畴，$F,G\colon C\to D$ 是 $\Bbbk$-线性（dg）严格幺半函子，$\eta,\theta\colon F\Rightarrow G$ 是幺半自然变换。直观上，它是“导出修饰” $\eta \Rrightarrow \theta$ 的复形；类似地，对于 dg 范畴的情形，有“导出自然变换” $F\Rightarrow G$ 的复形，由 $C$ 的 Hochschild 上链复形配以 $C$-双模 $D(F-,G=)$ 为系数给出。同时，我们给出了 $C^\bullet(C,D)(F,G)(\eta,\theta)$ 作为 $C$ 上 2-双模的阿贝尔范畴中的 $RHom$ 的内在同调代数解释。复形 $C^\bullet(C,D)(F,G)(\eta,\theta)$ 自然地来自于一个 2-余胞 dg 向量空间 $A(C,D)(F,G)(\eta,\theta)\colon \Theta_2\to C^\bullet(\Bbbk)$，作为其 $\Theta_2$-全化（这里 $\Theta_2$ 是对偶于 Joyal 2-圆盘范畴的范畴）。我们证明了 $H^3(C^\bullet(C,C)(\mathrm{Id},\mathrm{Id})(\mathrm{id},\mathrm{id})))$ 同构于我们称之为“完全”形变的 $\Bbbk$-线性幺半范畴的外无穷小形变的向量空间。这意味着以下数据需要被形变：(a) 底层的 dg 范畴结构，(b) 态射上的幺半积（对象上的幺半积是集合论数据，在形变下保持不变），(c) 结合子。我们证明了 $C^\bullet(C,D)(F,F)(\mathrm{id},\mathrm{id})$ 是一个同伦 $e_2$-代数。据推测，$C^\bullet(C,C)(\mathrm{Id},\mathrm{Id})(\mathrm{id},\mathrm{id})$ 是一个同伦 $e_3$-代数；然而证明需要更精巧的方法，我们希望在后续论文中完成。