幺半 2-范畴的上同调与形变形变理论 I

我们为任意 $K$-线性半严格半群 2-范畴 $(\mathfrak{C},\otimes)$（文中称为 Gray 半群）定义了一个上同调，并证明其（在适当等价意义下的）一阶（酉）形变与第二个上同调群中的元素一一对应。该构造的核心是一个类似于 Gerstenhaber-Schack 双复形（用于双代数）的双复形。我们还分别辨识出描述张量积、结合子与五角子的形变的上同调。为得到这些结果，引入了一个任意 $K$-线性酉伪函子的上同调理论以描述其纯伪函子形变，并推广了 Yetter 关于半群函子的上同调。相应的高阶阻碍将在后续论文中考虑。