Davydov-Yetter 上同调与相对同调代数

Davydov--Yetter（DY）上同调对张量函子与张量范畴的幺半结构无穷小形变进行分类。本文为有限张量范畴及其间的正合函子的 DY 上同调计算提供新工具。关键在于将 DY 上同调实现为相对 Ext 群。特别地，我们证明张量范畴 $\mathcal{C}$ 的无穷小形变由 Drinfeld 中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 相对于 $\mathcal{C}$ 的第三自扩张群分类。由相对同调代数的经典结果，我们得到 DY 上同调的长正合列以及 Yoneda 积，并给出其显式公式。利用长正合列与对偶性，我们得到仅基于相对投射覆盖的上同调群维数公式，该公式将同调代数中的问题化简为表示论中的问题，例如计算 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 中某对象的不变子空间。借助 Yoneda 积，我们还发展了显式计算 DY 上循环的方法，这些上循环在形变理论的应用中是必需的。我们将这些工具应用于有限维 Hopf 代数上的有限维模范畴。我们详细研究了外代数 $\Lambda\mathbb{C}^k \rtimes \mathbb{C}[\mathbb{Z}_2]$ 的玻色化、Taft 代数以及 $\mathfrak{sl}_2$ 在小量子群于单位根处的例子。