Davydov-Yetter 上的余切定理及其关于无積小编排的应用

Davydov-Yetter 上的上调和 $H_{\mathrm{DY}}^{\bullet}(F)$ 关联于域 $\Bbbk$ 上的单模态函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$，其中 $H_{\mathrm{DY}}^{\bullet}(F)$ 的二次层级分类了单模态结构的无積小变形。我们的主要结果表明：若 $F$ 存在右伴随 $R$，则可在 Drinfeld 中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 中定义一个以 $R$ 为基础的对象 $\Gamma$，使得 $F$ 的 Davydov-Yetter 上调可表示为 $\mathcal{C}$ 上恒等函子的 Davydov-Yetter 上调，系数为 $\Gamma$。我们在乘积函子 $\otimes: \mathcal{C} \boxtimes\mathcal{C} \to\mathcal{C}$ 具有由 $\mathcal{C}$ 上的编排 $c$ 给出的单模态结构时应用此结果，并明确系数 $\Gamma$ 作为 $\mathcal{Z}(\mathcal{C}) \boxtimes \mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 中的 coend 对象。动机在于 $H^{\bullet}_{\mathrm{DY}}(\otimes)$ 以一种方式包含“关于 $c$ 的无積小编排切向空间”，我们对其进行精确描述。当 $\mathcal{C} = H\text{-}\mathrm{mod}$（其中 $H$ 为域 $\Bbbk$ 上的有限维 Hopf 代数）时，此为 R 矩阵族的他几意义切向空间。在完美 $\Bbbk$ 情况下，我们给出该空间维数公式，仅涉及标准伴随 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 与 $\mathcal{C}$ 之间的低阶相对 Ext 的显式 end。作为余切定理的进一步应用，我们描述了 Hopf 子代数及 Drinfeld 扭转相关的限制函子的变形。两类应用均以外代数（exterior algebras）的 bosonization 为例加以说明。