Deligne 范畴与无限对称群的表示

我们建立了复数域 $\mathbb{C}$ 上对称群 $S_n$ 表示稳定性的两种设定之间的联系。一种是对称幺半范畴 ${\rm Rep}(S_{\infty})$，即无限对称群 $S_{\infty} = \bigcup_n S_n$ 的代数表示范畴，与 ${\bf FI}$-模理论相关。另一种是由 Comes 和 Ostrik 构造的刚性对称幺半 Deligne 范畴族 $\underline{{\rm Rep}}(S_t)$ ($t \in \mathbb{C}$) 及其阿贝尔版本 $\underline{{\rm Rep}}^{ab}(S_t)$。我们证明对于任意 $t \in \mathbb{C}$，自然函子 ${\rm Rep}(S_{\infty}) \to \underline{{\rm Rep}}^{ab}(S_t)$ 是一个正合对称忠实幺半函子，并计算了其在 $S_{\infty}$ 简单表示上的作用。考虑到 $\underline{{\rm Rep}}^{ab}(S_t)$ 上的最高权结构，我们证明了 ${\rm Rep}(S_{\infty})$ 中任意对象的像在 $\underline{{\rm Rep}}^{ab}(S_t)$ 中具有由标准对象构成的滤过。作为证明的副产品，我们回答了 P. Deligne 提出的关于 Deligne 范畴 $\underline{{\rm Rep}}(S_t)$ 中某些复形的上同调及其在非负整数 $n$ 处特化的问题。