具有无界边界斜率的曲率流收敛到死神曲线

我们考虑带域 $\Omega :=[-1,1]\times \R$ 中的曲率流 $V=H$，其中对于图形曲线 $\Gamma_t$，$V$ 表示其法向速度，$H$ 表示其曲率。若 $\Gamma_t$ 以恒定斜率接触 $\Omega$ 的两个边界 $\partial_\pm \Omega$，Altschular 和 Wu 于 1993 年 \cite{AW1} 证明了 $\Gamma_t$ 收敛到以相同规定斜率接触 $\partial_\pm \Omega$ 的{\it 死神曲线}。本文我们考虑 $\Gamma_t$ 以等于其高度 $\pm 1$ 倍斜率接触 $\partial_\pm \Omega$ 的情形。当曲线运动至无穷远时，由于无界边界斜率，全局梯度估计是不可能的。我们首先考虑一条特殊的对称曲线，并利用零数论证导出其一致内部梯度估计，然后利用这些估计给出一般非对称曲线的一致内部梯度估计，从而得到曲线在 $C^{2,1}_{loc} ((-1,1)\times \R)$ 拓扑下收敛到跨度为 $(-1,1)$ 的{\it 死神曲线}。