过平滑化Banach空间正则化的收敛速率

本文研究了Banach空间中有限光滑算子的Tikhonov正则化，其中惩罚项在真实解处不取有限值，从而在惩罚强制了过多光滑性的意义下实施过平滑。在Hilbert空间设定下，Natterer（1984）借助谱理论证明在此情形下仍可取得最优速率（‘过平滑无害’）。对于Banach空间中的过平滑变分正则化，仅近来在若干不同设定的论文中取得进展，这些论文均构造了真实解的平滑逼近族。本文我们提议基于$K$-插值理论构造此类平滑逼近族。我们证明这带来了简洁、自洽的证明以及相当一般的结果。特别地，我们获得了有界变差正则化、一般Besov惩罚项以及$p<1$的$\ell^p$小波惩罚的最优收敛速率，这些是先前方法无法处理的。我们还推导了白噪声模型下的极小极大最优速率。我们的理论结果在数值实验中得到了验证。