Hilbert 尺度下带过光滑惩罚的非线性 Tikhonov 正则化：审视平衡原理

针对具有光滑性促进惩罚的非线性不适定方程的 Tikhonov 正则化分析是反问题理论中的重要课题。聚焦于 Hilbert 尺度模型，过光滑惩罚（即惩罚项在真解处取无穷值）的情形日益受到关注。所考虑的非线性结构如同 B. Hofmann 与 P. Mathé 的研究（Tikhonov regularization with oversmoothing penalty for non-linear ill-posed problems in Hilbert scales. Inverse Problems, 2018）中那样。此类分析可解决两个基本问题：何时能实现阶最优重构？如何选取正则化参数？本研究从两方面补充了先前工作。首先，推导了误差分解为光滑性依赖项与（与光滑性无关的）噪声传播项的形式，涵盖了广泛的光滑性条件。其次，给出了基于平衡原理的参数选取方法。对平衡参数选取的历史与变体进行了详细讨论，阐明了此类平衡原理在何种条件下可得到阶最优重构。基于某指数增长模型的数值案例研究提供了进一步的见解。