多相平均曲率流的阈值化格式的收敛性

我们考虑阈值化格式（thresholding scheme），一种由 Merriman、Bence 和 Osher 引入的平均曲率流的时间离散化方法。我们证明了多相情形下的一个收敛结果。该结果建立了在有限周长集合的 BV 框架下平均曲率流的一种弱形式的收敛性。证明基于 Esedoglu 等人将阈值化格式解释为极小化运动格式（minimizing movement scheme）。这种解释意味着阈值化格式保持了（多相）平均曲率流作为关于总界面能量的梯度流的结构。更确切地说，阈值化格式是一个能量泛函的极小化运动格式，该能量泛函 $\Gamma$-收敛到总界面能量。在这个意义上，我们的证明类似于 Almgren、Taylor 和 Wang 以及 Luckhaus 和 Sturzenhecker 的收敛结果，他们建立了更具学术性的极小化运动格式的收敛性。与 Luckhaus 和 Sturzenhecker 的类似，我们的结果是条件收敛结果，这意味着我们必须假设近似的时间积分能量收敛到极限的时间积分能量。这是一个自然的假设，但基本估计得到的紧性并不能保证它。