时空离散阈值动力学向各向异性平均曲率运动的收敛性

我们分析了各种时空离散机制下一维界面平均曲率运动阈值算法的连续极限。该算法可视为 Allen-Cahn 方程的时间分裂格式，而 Allen-Cahn 方程是材料相界运动的典型模型。我们的结果扩展了主要适用于半离散（空间连续、时间离散）设置的现有结论。本工作的动机有两点：一是研究非线性奇异摄动问题中多个小参数之间的相互作用，二是理解空间离散环境中界面的曲率各向异性。在当前工作中，小参数为空间和时间离散步长 $\triangle x = h$ 和 $\triangle t = \tau$。我们确定了界面速度在以下机制下的极限描述：(i) 次临界 ($h \ll \tau$)，(ii) 临界 ($h = O(\tau)$)，以及 (iii) 超临界 ($h \gg \tau$)。第一种情况给出经典的各向同性平均曲率运动，而第二种情况产生复杂的钉扎 (pinning) 和去钉扎 (de-pinning) 现象以及界面速度函数的各向异性。最后一种情况不产生运动（完全钉扎）。