带多种符号的多粒子演化的收敛与不收敛

我们研究了当粒子数趋于无穷时演化相互作用粒子系统的收敛问题。我们考虑两类粒子，称为正粒子与负粒子。同号粒子相互排斥，异号粒子相互吸引。除符号外，所有粒子的相互作用势相同，且在零点具有对数奇异性。此类系统的核心例子是晶体中的位错。由于相互作用势的奇异性，离散演化导致有限时间内爆破。我们通过在一个长度尺度 $\delta_n>0$ 上正则化相互作用势来补救这一情形，该尺度随着粒子数 $n$ 趋于无穷而收敛到零。我们建立了两个主要结果。其一是演化收敛结果，表明正粒子与负粒子的经验测度收敛到一组耦合偏微分方程的解，这些方程描述了其连续统密度的演化。在位错的情形中，这些偏微分方程被称为 Groma-Balogh 方程。证明中我们依赖于 $\lambda$-凸梯度流理论、Groma-Balogh 方程的先验估计以及 Orlicz 空间。证明要求 $\delta_n$ 以足够慢的速度收敛到零。第二个结果是一个反例，表明若 $\delta_n$ 以足够快的速度收敛到零，则正位错与负位错的经验测度的极限不满足 Groma-Balogh 方程。这些结果表明，Groma-Balogh 方程作为多粒子系统极限的有效性，以微妙的方式依赖于势奇异性被正则化的尺度。