连分数与广义模式

在 [BS] 中 Babson 与 Steingrimsson 引入了广义排列模式，允许要求模式中的两个相邻字母在排列中也必须相邻。设 $f_{\tau;r}(n)$ 为 $n$ 个字母上避开 $1\mn3\mn2$ 且恰好包含 $r$ 个 $\tau$ 出现的排列数，其中 $\tau$ 是一个 $k$ 字母上的广义模式。令 $F_{\tau;r}(x)$ 与 $F_\tau(x,y)$ 为由 $F_{\tau;r}(x)=\sum_{n\geq0} f_{\tau;r}(n)x^n$ 与 $F_\tau(x,y)=\sum_{r\geq0}F_{\tau;r}(x)y^r$ 定义的生成函数。对于给定为广义模式的 $\tau=12\mn3\mn...\mn k$、$\tau=21\mn3\mn...\mn k$、$\tau=123... k$ 或 $\tau=k... 321$，我们求出 $F_\tau(x,y)$ 的连分数显式表达式。特别地，我们求出任意长度为 3 的广义模式 $\tau$ 的 $F_\tau(x,y)$。这使我们能够通过第二类 Chebyshev 多项式与连分数表示 $F_{\tau;r}(x)$。