排列中 (1,2) 或 (2,1) 型模式出现次数的计数

Babson 与 Steingr\'{\i}msson 引入了广义排列模式，允许要求模式中的两个相邻字母在排列中也必须相邻。Claesson 给出了避免任意单个 $(1,2)$ 或 $(2,1)$ 型模式的排列数的完全解。在这十二个模式中的八个，答案由 Bell 数给出；其余四个由 Catalan 数给出。关于等分布，存在三类不同的 $(1,2)$ 或 $(2,1)$ 型模式。我们对包含上述第一类或第二类模式中恰好一个出现的排列数给出了一个递推式，并求出了这些数的普通生成函数。我们同时用组合与分析两种方法证明了这些结果。最后，我们以连分数的形式给出第三类任意模式的分布，并给出当 $r\in\{1,2,3\}$ 时包含恰好 $r$ 个第三类模式出现的排列数的显式公式。