$S^5$ 中的接触平稳 Legendre 曲面

设 $(M^5,\alpha,g_\alpha,J)$ 为一个 5 维 Sasakian Einstein 流形，具有接触 1-形式 $\alpha$、关联度量 $g_\alpha$ 和殆复结构 $J$，且 $L$ 为 $M^5$ 中的接触平稳 Legendre 曲面。我们将证明 $L$ 满足以下方程 \begin{eqnarray}\label{equ} -\Delta^\nu H+(K-1)H=0, \end{eqnarray} 其中 $\Delta^\nu$ 是相对于由 $g_\alpha$ 诱导的 $L$ 上度量 $g$ 的法向 Laplacian，$K$ 是 $(L,g)$ 的高斯曲率。利用方程 \eqref{equ} 和标准单位球 $\mathbb{S}^5$ 中 Legendre 曲面的新型 Simons 型不等式，我们证明了 $\mathbb{S}^5$ 中接触平稳 Legendre 曲面的积分不等式。特别地，我们证明如果 $L$ 是 $\mathbb{S}^5$ 中的接触平稳 Legendre 曲面，$B$ 是 $L$ 的第二基本形式，$S=|B|^2$，$\rho^2=S-2H^2$ 且 $$0\leq S\leq 2,$$ 那么要么 $\rho^2=0$ 且 $L$ 是全脐点的，要么 $\rho^2\neq 0$，$S=2, H=0$ 且 $L$ 是平坦极小 Legendre 环面。